Question

点O是三角形ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能构成四边形．
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当点O在△ABC外时，（1）的结论是否成立？（画出图形，指出结论，不需说明理由；）
（3）若四边形DEFG是菱形，则点O的位置应满足什么条件？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）（2）根据平行四边形的判定性质求证．
（3）把结论当做已知条件，由结论推出已知．

解答：证明：（1）∵AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G
∴DG、EF分别为△ABC和△OBC的中位线
∴DG∥BC  EF∥BC DG=

1

2

BC  EF=

1

2

BC
∴DG∥EF且DG=EF
∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解：成立，
理由是：如图所示，
∵由（1）知，DG∥BC  EF∥BC DG=

1

2

BC  EF=

1

2

BC
∴DG∥EF且DG=EF
∴四边形DEFG是平行四边形；

（3）当点O满足OA=BC，四边形DEFG是菱形．
由三角形中位线性质得DE=EF，
所以平行四边形DEFG是菱形．

点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．