Question

在?ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为12，AB=5，
（1）求对角线AC与BD的和？
（2）能否求出AC与BD分别是多少？
（3）若?ABCD是菱形，能否求出AC与BD分别是多少？

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，BD=2OB，
∵△AOB的周长为12，AB=5，
∴OA+OB+AB=12，
∴OA+OB=7，
∴AC+BD=2（OA+OB）=14；

（2）不能求出AC与BD分别是多少，
因为平行四边形的AC和BD只有互相平分，没有其它条件；

（3）设AO=x，则OB=7-x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB²=AO²+OB²，
5²=x²+（7-x）²，
x₁=3，x₂=4，
当x=3时，7-x=4，AC=6，BD=8；
当x=4时，7-x=3，AC=8，BD=6；
答：AC和BD的长分别为6、8或8、6．
分析：（1）根据平行四边形性质得出AC=2OA，BD=2OB，求出AO+OB，即可求出答案；
（2）根据平行四边形的性质之一-平行四边形的对角线互相平分，即可得出答案；
（3）设AO=x，则OB=7-x，根据菱形的性质得出AC⊥BD，在Rt△AOB中，根据勾股定理得出5²=x²+（7-x）²，求出即可．
点评：本题考查了平行四边形性质，菱形性质，勾股定理等知识点，用了方程思想．