Question

如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连接AD、AM．
求证：（1）△ACM≌△BCM；
（2）AD•BE=DE•BC；
（3）BM²=MN•MF．

Answer 1

证明：（1）∵直径CD⊥AB，
∴AC=BC．
∴∠ACM=∠BCM．
∴△ACM≌△BCM．

（2）∵∠DAB=∠ECB∠ADC=∠EBC，
∴△ADE∽△CBE．
∴=．
∴AD•BE=DE•BC．

（3）连接AF，
∵BF=AC，
∴．
∴．
∴∠F=∠FBC．
又∵∠CAM=∠CBM，
∴∠F=∠MAN．
∵∠AMF=∠NMA，
∴△AMF∽△NMA．
∴．
∴AM²=MN•MF．
又∴BM=AM．
∴BM²=MN•MF．
分析：（1）要证明△ACM≌△BCM，只要证明∠ACM=∠BCM就可以；
（2）要证明AD•BE=DE•BC，只要证明△ADE∽△CBE即可；
（3）要证明BM²=MN•MF，主要求证△AMF∽△NMA即可．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
证明线段的乘积相等可以转化为证明三角形相似．