Question

数学课上，张老师正在上课：同学们，我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，圆内接四边形的对角（相对的两个角）互补．下面我们来研究它外角的性质．

（1）在图①中作出圆内接四边形ABCD中以点C为顶点的外角∠DCE，并请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系；
（2）分别延长BD、AD到点F、E，如图②，已知四边形ABCD是圆内接四边形，如果DE平分∠FDC，请你探索AB与AC有怎样的数量关系呢？
（3）如图③，点D是圆上一点，弦AB=

3

，DC是∠ADB的平分线，∠BAC=30°．当∠DAC等于多少度时，四边形DACB有最大面积？最大面积是多少？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据圆内接四边形对角互补的性质即可得出结论；
（2）先根据四边形ABCD是圆内接四边形得出∠2=∠ABC，再根据∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB得出∠1=∠ACB，由DE平分∠FDC可知∠1=∠2所以∠ABC=∠ACB，由此可得出结论；
（3）根据DC平分∠ADB可知∠ADC=∠BDC，再由∠ADC=∠ABC，∠BDC=∠BAC，得出∠ABC=∠BAC，进而AC=BC，由直角三角形的性质得出AC=BC=1，由于S_{四边形DACB}=S_△ABC+S_△DAB
S_△ABC为定值，当S_△DAB最大时，四边形DACB面积最大，要使四边形DACB面积最大，只需求出面积最大的△DAB 即可在△DAB中，AB边不变，当点D是AB的中垂线与圆的交点时，四边形DACB面积最大，此时△DAB为等边三角形，此时DC应为圆的直径，∠DAC=90°，根据∠ADC=∠BAC=30°可知DC=2AC=2，由此可得出结论．

解答：解：（1）画图如图，∠DCE=∠A．
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠DCE+∠BCD=180°
∠DCE=∠A；

（2）AB=AC，
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠2=∠ABC，
∵∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB，
∴∠1=∠ACB，
∵DE平分∠FDC，
∴∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC=∠BDC，
又∵∠ADC=∠ABC，∠BDC=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴AC=BC，
∵AB=

3

，∠BAC=30°，
∴AC=BC=1，
∵S_{四边形DACB}=S_△ABC+S_△DAB
S_△ABC为定值，当S_△DAB最大时，四边形DACB面积最大，
要使四边形DACB面积最大，只需求出面积最大的△DAB 即可
在△DAB中，AB边不变，当点D是AB的中垂线与圆的交点时，四边形DACB面积最大
此时△DAB为等边三角形，此时DC应为圆的直径，∠DAC=90°
∵∠ADC=∠BAC=30°，
∴DC=2AC=2，
∴四边形DACB的最大面积=

1

2

×

3

×2=

3

．

点评：本题考查的是圆的综合题，熟知圆内接四边形的性质、直角三角形的性质等知识是解答此题的关键．