Question

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，点F是对角线BD上一点．
（1）如图1，求证：AF=CF．
（2）如图2，若△CDF绕着点F旋转到△AEF，点E在CF延长线上，连接BE，求证：△ABE是等边三角形．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是AC垂直平分线，
∴AF=CF；

（2）证明：如图2，∵△CDF绕着点F旋转到△AEF，
∴AE=CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，
∴AB=AE，
∵点E在CF延长线上，
∴∠CFD+∠AFD+∠AFE=180°，
根据菱形的对称性，∠CFD=∠AFD=∠AFE，
∴∠CFD=60°，
∴∠BFE=∠CFD=60°，
∵四边形ABCD是菱形，△CDF绕着点F旋转到△AEF，
∴∠ABF=∠CDF=∠AEF，
∵∠1=180°-（∠AEF+∠BAE），∠2=180°-（∠ABF+∠BFE），∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠BAE=∠BFE=60°，
∴△ABE是等边三角形．
分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得BD是AC垂直平分线，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF；
（2）根据旋转的性质可得AE=CD，再根据菱形的四条边都相等可得AB=CD，从而得到AB=AE，然后根据点E在CF延长线上求出∠CFD=60°，根据对顶角相等求出∠BFE=∠CFD，根据菱形的对角相等，对角线平分一组对角求出∠ABF=∠AEF，然后利用三角形的内角和定理列式求出∠BAE=∠BFE=60°，再根据等边三角形的判定证明即可．
点评：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的四条边都相等的性质，旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，等边三角形的判定，（2）根据三角形的内角和求出∠BAE=∠BFE=60°是解题的关键，也是本题的难点．