Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，连接AC．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD=3，AC=，求直径AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，直线l与⊙O相切于点C
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠2，
又∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
即AC平分∠DAB．

（2）解法一：连接BC，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
由（1）知，∠1=∠3
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴直径AB的长是4．
解法二：在Rt△ADC中，AD=3，AC=，
∴，
即∠1=30°，
由（1）知，∠3=∠1=30°，
连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，，，AB=4
∴直径AB的长是4．
评分细则：第2问解法较多，其它解法参照本评分说明分步给分；
分析：（1）连接OC，可证得OC∥AD，根据平行线性质及等腰三角形性质，可得∠DAC=∠CAO，即得AC平分∠DAB；
（2）通过构造直角三角形，利用特殊角三角函数和勾股定理，即可求得AB的长．
点评：本题涉及到切线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定、特殊角的三角函数、解直角三角形等多方面的知识，是一道综合题型，考查学生各知识点的综合运用能力．