Question

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠C=30°，CE=6，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°．
∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
在Rt△CED中，cos∠C=，cos30°=，
解得：CD=4，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=4，
∴AC=AB，
∴∠B=∠C=30°，
在Rt△ABD中．cos∠B=，cos30°=，
解得AB=8，
故⊙O的半径为4．
分析：（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．此题可运用三角形的中位线定理证OD∥AC，因为DE⊥AC，所以OD⊥DE．
（2）通过相似三角形的性质或三角函数的定义求出AB或圆的半径的值即可．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．