Question

16．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）请判断△CMN的形状，并说明理由；
（2）如果MC=3ND，CD=4，求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；
（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由MC=3ND，易得MH=2HC，然后设DN=x，在Rt△CDN中，利用勾股定理得出DC=2$\sqrt{2}$x=4，求出x，再在Rt△MNH中根据勾股定理，可求得MN的长．

解答 解：（1）△CMN是等腰三角形．理由如下：
由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠ANM=∠CMN．
∴∠CMN=∠CNM．
∴CM=CN，
即△CMN为等腰三角形；

（2）过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．
∴HC=DN，NH=DC．
∵MC=3ND，
∴MH=2HC．
设DN=x，则HC=x，MH=2x，
∴CN=CM=3x．
在Rt△CDN中，DC=2$\sqrt{2}$x=4，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴HM=2$\sqrt{2}$．
在Rt△MNH中，MN=$\sqrt{M{H}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{8+16}$=2$\sqrt{6}$．

点评 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．