如图.在平面直角坐标系中.已知矩形ABCD的三个顶点B．抛物线y=ax2+bx过A.C两点．(1)求出抛物线的解析式,(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动.同时点Q从点C出发.沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度.运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．连接EQ．在点P.Q运动的过程中.当△CEQ是等腰三角形时.求t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y=ax²+bx过A、C两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．连接EQ．在点P、Q运动的过程中，当△CEQ是等腰三角形时，求t的值．

分析（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同，利用待定系数法即可解决问题．
（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．
②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．

解答解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax²+bx得 $\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=8}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+4x；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=$\frac{PE}{AP}$=$\frac{BC}{AB}$，即 $\frac{PE}{AP}$=$\frac{4}{8}$．
∴PE=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t．PB=8-t．
∴点E的坐标为（4+$\frac{1}{2}$t，8-t）．
∴点G的纵坐标为：-$\frac{1}{2}$（4+$\frac{1}{2}$t）²+4（4+$\frac{1}{2}$t）=-$\frac{1}{8}$t²+8．
∴EG=-$\frac{1}{8}$t²+8-（8-t）=-$\frac{1}{8}$t²+t．
∵-$\frac{1}{8}$＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2．
②共有三个时刻．
（①）当EQ=QC时，
因为Q（8，t），E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（ $\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²=t²．
整理得13t²-144t+320=0，
解得t=$\frac{40}{13}$或8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．
（②）当EC=CQ时，
因为E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），C（8，0），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²=t²．
整理得t²-80t+320=0，t=40-16 $\sqrt{5}$，t=40+16 $\sqrt{5}$＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．
（③）当EQ=EC时，
因为Q（8，t），E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），C（8，0），
所以根据两点间距离公式，得：（ $\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²=（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²，
解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=$\frac{16}{3}$．
综上所述，t₁=$\frac{16}{3}$，t₂=$\frac{40}{13}$，t₃=40-16 $\sqrt{5}$．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．

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