Question

如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁，如图（2）中阴影部分；取△A₁B₁C₁和△₁D₁E₁F₁各边中点，连接成正六角星形A₂F₂B₂D₂C₂E ₂F₂，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A_nF_nB_nD_nC_nE _nF_n的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．
解答：解：∵A₁、F₁、B₁、D₁、C₁、E₁分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁的面积为 ，
同理可得，第二个六角形的面积为：=，
第三个六角形的面积为：=，
第n个六角形的面积为：．
故答案为：．
点评：本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方．