Question

如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于D，交BC于E，已知CD=AD．
（1）求证：AB=CB；
（2）过点D作出⊙O的切线；（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（3）设过D点⊙O的切线交BC于H，DH=，tanC=3，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据垂直平分线的性质即可得出AB=BC；
（2）根据切线的性质，过点D作BC的垂直线或作O、D连线的垂线即可；
（3）根据相似三角形的判定与性质得出，△CHD∽△CDB，=，进而求出即可．
解答：（1）证明：如图1，连结BD．
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴AD⊥BD．
又∵CD=BD，
∴AB=AC．

（2）解：如图1所示：
（过点D作BC的垂直线或作O、D连线的垂线）；

（3）解：连结OD，BD．
∵CD=AD，AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线．∴OD∥BC．
∵过点D的直线与⊙O相切，
∴OD⊥DH．
∵OD∥AC，
∴DH⊥BC．
在Rt△DHC中，
∵DH=，tanC=3，
∴CH=，CD=，
∵∠C=∠C，∠CDH=∠CDB=90°，
∴△CHD∽△CDB，
∴=，
∴=，
解得：BC=5，
即AB=5，
∴⊙O的直径为5．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质和垂直平分线的性质等知识，熟练利用切线的性质定理得出是解题关键．