Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，
（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是______；
（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；
（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是______．

Answer 1

解：（1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴AD=CD，
∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，
∴EN=AD，
∴EM=CD，
∴EN=EM，
∵∠GEB=90°，∠MEN=90°，
∴∠NEF=∠GEM，
∴，
∴△EGM≌△EFN，（ASA）
∴EG=EF

（2）
证明如图（2）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，

∴∠ENA=∠CME=∠EMF=90°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDA=90°．
∴EM∥AD．∠A=∠CEM．
∴△EMC∽△ANE．∴
∵EM∥AD，∴∠NEM=90．即∠1+∠2=90°．
∵EG⊥BE，∴∠3+∠2=90°，
∴∠MEF=∠GEN．
∴△EFM∽△EGN．∴．
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴AN=EN．
∴，
∴
∵，
∴．

（3）∴
证明如图（3）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，
∴∠ENA=∠CME=∠EMF=90°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDA=90°．
∴EM∥AD．∠A=∠CEM．
∴△EMC∽△ANE．∴
∵EM∥AD，∴∠NEM=90．即∠2+∠3=90°．
∵EG⊥BE，∴∠3+∠2=90°，
∴∠MEF=∠GEN．
∴△EFM∽△EGN．∴．
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴AN=EN．
∴，
∴
∵
∴，

故答案为：（1）EF=EG，（3）
分析：（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF=EG；
（2）根据已知首先求出∠ENG=∠FEM，再得出∠ENG=∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质的运用．