Question

如图，在直角坐标系中，已知P₀的坐标为（1，0），将线段OP₀绕O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的3倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁绕O点按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的3倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，…，Op_n（n为正整数），则△P₂₀₀₉OP₂₀₁₀的面积________．

Answer 1

分析：求出OP₁、OP₂、OP₃的长，得出规律求出OP₂₀₁₀的长，根据经过8次P₈落在x轴的正半轴上，得到OP₂₀₁₀在y轴上，OP₂₀₀₉在第一象限角的平分线上，求出三角形的高，根据三角形的面积求出即可．
解答：解：OP₁=3OP=3×1=3，
同理OP₂=30P₁=3×3×1=3²，
OP₃=3OP₂=3³，
…
OP₂₀₀₉=3²⁰⁰⁹，OP₂₀₁₀=3²⁰¹⁰，
∵360°÷45°=8，
即经过8次P₈落在x轴的正半轴上，
∴2010÷8=251…2，
即OP₂₀₁₀在y轴上，OP₂₀₀₉在第一象限角的平分线上，
如图：过P₂₀₀₉作P₂₀₀₉C⊥y轴于C，
由勾股定理求出P₂₀₀₉C=，
∴△OP₂₀₀₉P₂₀₁₀的面积是×OP₂₀₁₀×CP₂₀₁₀=×3²⁰¹⁰×=，
故答案为：．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质．