Question

已知抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）与x轴交于不同的两个点A（x₁，0）和点B（x₂，0）与y轴的正半轴交于点C，如果x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的两个根（x₁＜x₂），且图象经过点（2，3）
（1）求抛物线的解析式并画出图象
（2）x在什么范围内函数值y大于3且随x的增大而增大．
（3）设（1）中的抛物线顶点为D，在y轴上是否存在点P，使得DP+BP的和最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设函数解析式为y=a（x²-2x-3），
把点（2，3）代入y=a（x²-2x-3）得，a（2²-2×2-3）=3，
解得a=-1，
故函数解析式为y=-x²+2x+3，
当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
故函数与x轴的交点坐标为A（-1，0）和点B（3，0），
当x=0时，y=-3，函数与y轴的交点为（0，-3），
又因为函数图象对称轴为x=-=1，
将x=1代入解析式得，y=-1+2+3=4，
则函数顶点坐标为（1，4）．如图：

（2）由图可知，0＜x＜1时，y大于3且随x的增大而增大．

（3）作B关于y轴的对称点B′则B′坐标为（-3，0），连接DB′，
设DB′的解析式为y=kx+b，
将（1，4），（-3，0）分别代入解析式得，
，
解得，
则函数解析式为y=x+3．
当x=0时，y=3，
则P点坐标为（0，3）．
分析：（1）根据二次函数与一元二次方程的关系可知，方程x²-2x-3=0的两个根即为函数与x轴的交点横坐标，利用待定系数法列出函数解析式，将（2，3）代入解析式，求出系数即可，根据函数解析式求出函数图象的顶点坐标，再求出与坐标轴的交点坐标即可画出函数图象．
（2）根据图象直接解答即可．
（3）作B关于y轴的对称点B′则B′坐标为（-3，0），连接DB′，设DB′的解析式为y=kx+b，求出函数解析式，与y轴交点坐标即为P点坐标．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、轴对称最短路径问题及函数与坐标轴的交点等问题．要注意数形结合．