Question

如图，等腰△OBD中，OD=BD，△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时正好B、D、C在同一直线上，且点D是BC的中点．
（1）求△OBD旋转的角度；
（2）求证：四边形ODAC是菱形．

Answer 1

（1）解：∵OD=BD，CD=BD，
∴OD=CD=BD，
又△OBD≌△OAC，
∴OD=OC，
△ODC是等边三角形，
∴∠COD=60°，
即△OBD旋转的角度为60°；

（2）证明：∵△OBD≌△OAC，△ODC是等边三角形，
∴OD=OC，BD=AC，OB=OA，
∠OCA=∠ODB=180°-60°=120°，
∴∠ACD=∠OCA-∠OCD=120°-60°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴OD=OC=AC=AD，
∴四边形ODAC是菱形．

另解：连接AB，由（1）得：∠AOB=60°又OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，
∴OD=OC=BD=AC，
∴BC垂直平分OA，
∴OD=AD，
∴OD=OC=AC=AD，
∴四边形ODAC是菱形．
分析：（1）根据旋转的性质可以证得△ODC是等边三角形，即可求得旋转角；
（2）根据△OBD是等腰三角形，且△ODC是等边三角形，即可证得∠ACD=60°，则△ACD是等边三角形，即可证得四边形ODAC的四条边都相等，从而求证．
点评：本题主要考查了等边三角形的判定，以及菱形的判定，正确理解等边三角形与菱形的判定方法是解题的关键．