Question

如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AC平分∠DAB，AC⊥BC，∠B=60°．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；　　　　　　　　　　　　　　　
（2）取边AB的中点E，连接DE．求证：四边形DEBC是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵AD=CD（已知），
∴∠DCA=∠DAC（等边对等角）；
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAC=∠CAB（角平分线的性质），
∴∠DCA=∠CAB（等量代换），
∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）；
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=60°
∴∠CAB=30°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠DAC=30°，
∴∠DAB=30°+30°=60°=∠B，
∴AD=BC（等角对等边）；
∵∠B+∠DAB=60°+60°=120°≠180°
∴AD与BC不平行，…
∴四边形ABCD是等腰梯形． …

（2）由（1）知AD=CD，BC=AD，
∴BC=CD（等量代换）；
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°
∴（直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）；
∴CD=BE（等量代换），
∵DC∥AB（梯形的性质），
∴四边形DEBC是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵BC=CD，
∴四边形DEBC是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
分析：（1）由等腰三角形的性质、角平分线的性质利用等量代换可以推知内错角∠DCA=∠CAB，利用平行线的判定定理可以证得CD∥AB；然后由直角三角形的性质、角平分线的性质以及等腰三角形 判定定理知AD=BC；最后由等腰梯形的判定定理证得结论；
（2）根据菱形的判定定理（邻边相等的平行四边形是菱形）知，欲证四边形DEBC是菱形，首先证明四边形DEBC是平行四边形，然后结合（1）知邻边CD=BC．
点评：本题考查了等腰梯形的性质、菱形的判定．学生在证明四边形为等腰梯形时，常直接找所需条件：同一底上的两底角相等或两条腰相等，而常忽略-关键要素：已经证明该四边形为梯形了吗？