Question

如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点D、E，过E作BC的垂线交BC于点F，交⊙O于M，P是弧BC中点，连接PC交EM于点G，若AB=13，AE=5，tan∠BGF=4．求：（1）EM的长；（2）AD的长．

Answer 1

解：（1）连接BE、BP，BM，
则∠BEC=90°，∠P=90°，
∵P为弧BC中点，
∴∠BCP=∠CBP=45°，
∵EM⊥BC与F，
∴∠EFC=90°，
于是△CFG为等腰直角三角形，GF=FC，
又∵tan∠BGF=4，
设BF=4x，则FG=x，于是FC=x，
根据射影定理，BE²=BF•BC=4x•5x，
即12²=20x²，x²=，x=．
根据相交弦定理，EF²=BF•CF，得EF²=4x•x，
EF²=4x²=4×=，EF=；
EM=2×=．

（2）在Rt△BEC中，根据射影定理，EC²=BC•CF=5x•x=5×=36，解得EC=6或EC=-6（负值舍去）．
根据割线定理AD•AB=AE•AC，
得13AD=5×（5+6），
解得AD=．
分析：（1）连接BE、BP，构造直角三角形，利用射影定理求出BC、CF，BF、CE的长，进而求出EF的长，得到EM的长；
（2）利用割线定理AD•AB=AE•AC，可求得AD的长．
点评：此题综合考查了直角三角形的性质、相交弦定理、射影定理等知识，难度较大．解答此题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用其性质解答．