Question

为了抓住世博会的商机，某商店决定购进甲、乙两种玩具．其中甲种玩具是每件5元，乙种玩具是每件10元．
（1）若该商店决定拿出1000元钱全部用来购进这两种玩具，考虑市场需要，要求购进甲种玩具的数量不少于乙种玩具数量的6倍，且不超过乙种玩具数量的8倍，那么该商店有几种不同购进方案？
（2）若销售每件甲种玩具可获利3元，销售每件乙种玩具可获利4元，在第（1）问的各种进货方案中，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少？

Answer 1

（1）解：设甲种玩具买x件，乙种玩具买y件，由题意可知：
解得：20≤y≤25，
∵x，y为整数，
∴y=20，21，22，23，24，25共六种方案，
∵5x=1000-10y＞0，
∴0＜y＜100，
∴上述六种方案都满足题意，

（2）解：设利润为W元，则
W=3x+4y，
∵5x+10y=1000，
∴x=200-2y，
∴代入上式得：W=600-2y，
∵-2＜0，
∴W随着y的增大而减小，
∴当y=20时，W最大，
即此时x=160时，W最大，
∴W_最大=600-2×20=560（元），
答：当购进甲种玩具160个，购进乙两种玩具20个时获利最大，最大利润为560元．
分析：（1）设甲种玩具买x件，乙种玩具买y件，则根据题意得出方程5x+10y=1000和不等式组6y≤x≤8y，把方程代入不等式组即可得出20≤y≤25，求出y的值即可；
（2）设利润为W元，得出W=3x+4y，求出W=600-2y，根据一次函数的性质得出y取最小值时W最大，求出y=20，即可求出x和W值．
点评：本题考查了一次函数的应用和一下函数的性质，不等式组，二元一次方程等知识点，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．