Question

6．如图（1），直线y=-$\frac{4}{3}$x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，-2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图（2），将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD=PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；
（3）分点P′落在x轴和y轴两种情况计算即可

解答 解：（1）∵点C（0，4）在直线y=-$\frac{4}{3}$x+n上，
∴n=4，
∴y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令y=0，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，-2）．
∴c=-2，6+3b-2=0，
∴b=-$\frac{4}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2，

（2）∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，
∴P（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），D（m，-2）．
若△BDP为等腰直角三角形，则PD=BD．
①当点P在直线BD上方时，PD=$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m．
（ⅰ）若点P在y轴左侧，则m＜0，BD=-m．
∴$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m=-m，
∴m₁=0（舍去），m₂=$\frac{1}{2}$（舍去）．
（ⅱ）若点P在y轴右侧，则m＞0，BD=m．
∴$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m=m，
∴m₃=0（舍去），m4=$\frac{7}{2}$．
②当点P在直线BD下方时，m＞0，BD=m，PD=-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m．
-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m=m，
∴m5=0（舍去），m6=$\frac{1}{2}$．
综上所述，m=$\frac{7}{2}$或m=$\frac{1}{2}$．
即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为$\frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}$．

（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
∴sin∠PBP'=$\frac{4}{5}$，cos∠PBP'=$\frac{3}{5}$，
①当点P'落在x轴上时，过点D'作D'N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，
∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，
如图1，

由旋转知，P'D'=PD=$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m，
在Rt△P'D'N中，cos∠ND'P'=$\frac{ND′}{P′D′}$=cos∠PBP'=$\frac{3}{5}$，
∴ND'=$\frac{3}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m），
在Rt△BD'M中，BD'=-m，sin∠DBD'=$\frac{D′M}{BD′}$=sin∠PBP'=$\frac{4}{5}$，
∴D'M=-$\frac{4}{5}$m，
∴ND'-MD'=2，
∴$\frac{3}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m）-（-$\frac{4}{5}$m）=2，
∴m=$\sqrt{5}$（舍），或m=-$\sqrt{5}$，
如图2，

同①的方法得，ND'=$\frac{3}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m），MD'=$\frac{4}{5}$m
∵ND'+MD'=2，
∴$\frac{3}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m）+$\frac{4}{5}$m=2，
∴m=$\sqrt{5}$，或m=-$\sqrt{5}$（舍），
∴P（-$\sqrt{5}$，$\frac{4\sqrt{5}+4}{3}$）或P（$\sqrt{5}$，$\frac{-4\sqrt{5}+4}{3}$），
②当点P'落在y轴上时，如图3，
过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD'的延长线于点N，

∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，
同①的方法得，P'N=$\frac{4}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m），BM=$\frac{3}{5}$m，
∵P′N=BM，
∴$\frac{4}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m）=$\frac{3}{5}$m，
∴m=$\frac{25}{8}$，
∴P（$\frac{25}{8}$，$\frac{11}{32}$）．
∴P（-$\sqrt{5}$，$\frac{4\sqrt{5}+4}{3}$）或P（$\sqrt{5}$，$\frac{-4\sqrt{5}+4}{3}$）或P（$\frac{25}{8}$，$\frac{11}{32}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形．