Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．
（1）求证：AD=BE；
（2）求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD=BE；

（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠CAD=∠ABE，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，
∴∠PBQ=90°-60°=30°，
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6，
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．
分析：（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB=CA，每一个角都是60°可得，∠BAE=∠ACD=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠ABE，然后求出∠BPQ=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP=2PQ，再根据AD=BE=BP+PE代入数据进行计算即可得解．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质并求出BP=2PQ是解题的关键．