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已知二次函数y=x2+ax+a-2.

(1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点.

(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式.

(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由.

答案:
解析:

  解(1)因为△=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0

  所以不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点  (2分)

  (2)设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根,则x1+x2=-a,x1·x2=a-2,因两交点的距离是,所以  (4分)

  即:(x1-x2)2=13

  变形为:(x1+x2)2-4x1·x2=13  (5分)

  所以:(-a)2-4(a-2)=13

  整理得:(a-5)(a+1)=0

  解方程得:a=5或-1

  又因为:a<0

  所以:a=-1

  所以:此二次函数的解析式为y=x2―x―3  (6分)

  (3)设点P的坐标为(x0,y0),因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于,所以:AB=  (8分)

  所以:S△PAB

  所以:

  即:|y0|=3,则  (10分)

  当y0=3时,,即(x0-3)(x0+2)=0

  解此方程得:x0=-2或3

  当y0=-3时,,即x0(x0-1)=0

  解此方程得:x0=0或1  (11分)

  综上所述,所以存在这样的P点,P点坐标是(-2,3),(3,3),(0,-3)或(1,-3)  (12分)


练习册系列答案
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(本题满分10分)已知二次函数y=x2+bx-3的图像经过点P(-2,5).

(1)求b的值,并写出当0<x≤3时y的取值范围;

(2)设点P1(m,y1)、P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上.

①试比较y1和y2的大小;

②当m取不小于5的任意实数时,请你探索:y1、y2、y3能否作为一个三角形

三边的长,并说明理由.

 

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