Question

11．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax²（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为-4，AC=4BC，求点B的坐标；
（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．

Answer 1

分析 （1）如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值；
（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为-4，得B的横坐标为1，所以A（-4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则$\frac{AD}{OE}=\frac{OD}{BE}$，得a的值及B的坐标；
（3）如图3，设AC=nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am²），则A（-mn，am²n²），分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，∵抛物线y=ax²的对称轴是y轴，且AB∥x轴，
∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=2，AB⊥OC，
∴AC=BC=1，∠BOC=30°，
∴OC=$\sqrt{3}$，
∴A（-1，$\sqrt{3}$），
把A（-1，$\sqrt{3}$）代入抛物线y=ax²（a＞0）中得：a=$\sqrt{3}$；
（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，
∵CF∥BG，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{FG}$，
∵AC=4BC，
∴$\frac{AF}{FG}$=4，
∴AF=4FG，
∵A的横坐标为-4，
∴B的横坐标为1，
∴A（-4，16a），B（1，a），
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠BOE=∠DAO，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴$\frac{AD}{OE}=\frac{OD}{BE}$，
∴$\frac{16a}{1}=\frac{4}{a}$，
∴16a²=4，
a=±$\frac{1}{2}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{1}{2}$；
∴B（1，$\frac{1}{2}$）；
（3）如图3，设AC=nBC，
由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，
则设B（m，am²），则A（-mn，am²n²），
∴AD=am²n²，
过B作BF⊥x轴于F，
∴DE∥BF，
∴△BOF∽△EOD，
∴$\frac{OB}{OE}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{BF}{DE}$，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{m}{mn}=\frac{a{m}^{2}}{DE}$，
∴$\frac{OB}{OE}$=$\frac{1}{n}$，DE=am²n，
∴$\frac{OB}{BE}$=$\frac{1}{1+n}$，
∵OC∥AE，
∴△BCO∽△BAE，
∴$\frac{CO}{AE}=\frac{OB}{BE}=\frac{1}{1+n}$，
∴$\frac{CO}{a{m}^{2}{n}^{2}+a{m}^{2}n}$=$\frac{1}{1+n}$，
∴CO=$\frac{a{m}^{2}n（1+n）}{1+n}$=am²n，
∴DE=CO．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用三角形相似计算二次函数的解析式、三角形相似的性质和判定、函数图象上点的坐标与解析式的关系、等边三角形的性质和判定，要注意第三问不能直接应用（1）（2）问的结论，第三问可以根据第二问中AC=4BC，确定A、B两点横坐标的关系，利用两点的纵坐标和三角形相似列比例式解决问题．