Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=

2

，AD=1，∠B=45°，动点E在折线BA-AD-DC上移动，过点E作EP⊥BC于点P，设BP=x，请写出题中所有能用x的代数式表示的图形的面积．

Answer 1

分析：由于动点E在折线BA-AD-DC上移动，所以此题应分别画出对应的三种情况进行讨论计算．作等腰梯形的两条高，根据已知的线段和已知的角求得该梯形的高是1，下底是3．再进一步根据BP=x进行表示各个图形的面积．

解答：解：作AF⊥BC于F，DG⊥BC于G．
在Rt△ABF中，AB=CD=

2

，∠B=45°，
∴AF=BF=1，同理，DG=CG=1，则BC=1+1+1=3．
则梯形的面积=

1

2

（1+3）×1=2．
当E分别在折线BA、AD、DC上移动时：

（1）如图1，当点E在AB上时，则△BEP的面积是

x2

2

，五边形AEPCD的面积=2-

x2

2

．

（2）如图2，当点E在AD上时，则四边形ABPE的面积=

1

2

（x+x-1）×1=x-

1

2

；
四边形CDEP的面积=2-（x-

1

2

）=

5

2

-x．

（3）如图3，当点E在CD上时，△CEP的面积=

1

2

（3-x）²=

1

2

x²-3x+

9

2

；
五边形ABPED的面积=2-（

1

2

x²-3x+

9

2

）=-

1

2

x²+3x-

5

2

．

点评：此题要首先能够根据梯形中的已知条件求得梯形的下底和高，然后结合三种情况的图进行分析计算，尤其要注意其中的等腰直角三角形．