Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）以斜边BC上距离C点2cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，并且DF交AC于点N，EF交AC于点M，则△NMF与△ABC的形状关系为______；
（2）在（1）的条件下，求旋转后△DEF与△ABC重叠部分的面积S；
（3）以斜边BC上距离C点xcm的点P为中心（P不是B、C），把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，设△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）相似；

（2）∵绕点P旋转90°，根据旋转变换的性质，EF⊥BC于P，从而得Rt△CPM，且Rt△CPM∽Rt△CAB，△CPM≌△FPQ．
由勾股定理可求得BC=5cm．
∵CP=2cm，且FP=CP=2cm（旋转后的对应线段相等）．
由△CPM∽△CAB，得PM：AB=PC：AC，即PM：3=2：4，
得PM=；FM=FP-PM=2-=，
由△FPQ∽△FDE得PQ：DE=FP：FD，∴PQ=，
∴S_△FQP=FP•PQ=•2•=．
由△FNM∽△CAB，
得FN：CA=FM：CB，∴FN=；同样，NM：AB=FM：CB，得NM=，
从而得S_△FMN=FN•NM=•=，

∴重叠部分的面积S=S_△FQP-S_△FNM
=S_△CMP-S_△FNM=-=；

（3）点P从C点逐渐向B移动时，有三种情况，它是由BC上的三段组成的P点的三个取值范围，
见图所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上这三段．其中的P₁、P₂是两个特殊的位置：P₁的位置是FD与AB有部分重合；P₂的位置是FE过A点．下面先求出CP₁的长．
对于图2中的P₁位置，即是下图1中，当AN=0时的情况．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=x，
MN=x，∴NC=NM+MC=x+x=x，
从而AN=AC-NC=4-x，
由AN=0，解得x=；对于图2中点P₂的位置，容易求得P₂C=．
1当P在CP₁间，即0＜x≤时，
y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM
=PC•MP-FN•NM
=x•x-x•x=x²，
②当P在P₁P₂间，即＜x≤时，y=S_△ABC-S_△CPM=6-•x•x=6-x²；
③当P在P₂B间，即＜x＜5时，y=S_△MPB=•（5-x）•（5-x）=（3-x）²．
故：当0＜x≤时，y=x²；
当＜x≤时，y=6-x²；
当＜x＜5时，y=（3-x）²．

分析：（1）相似，由于按逆时针方向旋转90°至△DEF，容易得到△ABC∽△PMC∽△NMF，由此即可求解；
（2）根据旋转变换的性质和EF⊥BC于P得到Rt△CPM∽Rt△CAB，△CPM≌△FPQ，FP=CP，由勾股定理可求得BC=5cm，而CP=2cm，由△CPM∽△CAB利用对应线段成比例求出PM，接着求出FM，再由△FPQ∽△FDE利用相似三角形的性质求出PQ，由此即可求出S_△FQP，再由△FNM∽△CAB利用相似三角形的性质求出FN和NM，从而得S_△FMN，而重叠部分的面积S=S_△FQP-S_△FNM，由此即可求解；
（3）点P从C点逐渐向B移动时，有三种情况，它是由BC上的三段组成的P点的三个取值范围，如图所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上这三段．其中的P₁、P₂是两个特殊的位置：P₁的位置是FD与AB有部分重合；P₂的位置是FE过A点．首先求出CP₁的长．对于图2中的P₁位置，即是下图1中，当AN=0时的情况．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=x，MN=x，所以NC=NM+MC=x，从而AN=AC-NC=4-x，由AN=0求出x=；对于图2中点P₂的位置，容易求得P₂C=，
①当P在CP₁间，即0＜x≤时，由y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM=PC•MP-FN•NM可以求出函数解析式；
②当P在P₁P₂间，即＜x≤时，由y=S_△ABC-S_△CPM可以求出函数解析式；
③当P在P₂B间，即＜x＜5时，由y=S_△MPB=•（5-x）•（5-x）求出函数解析式．
点评：此题分别考查了相似三角形的性质与判定、勾股定理、全等三角形的性质与判定、旋转的性质及解直角三角形等知识，综合性非常强，要求学生有很好的基础知识才能解决这类问题．