Question

如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上（不与A、D重合），MN为折痕，折叠后B′C′与DN交于P，则四边形MNC′B′面积最小值为________．

Answer 1

分析：先证明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性质得出C'N的长，再表示出求出梯形MNC′B′面积，进而求出最小值．
解答：如图，过N作NR⊥AB与R，
则RN=BC=1，
连BB′，交MN于Q．则由折叠知，
△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，
∴△MQB∽△B′AB，
∴==．
设AB′=x，则BB′=，BQ=，代入上式得：
BM=B'M=（1+x2）．
∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∵，
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=（1+x2）-x=（x-1）²．
∴S_{梯形MNC′B′}=[（x-1）²+（x²+1）]×1=（x²-x+1）=（x-）²+，
得当x=时，梯形面积最小，其最小值．
故答案为：．
点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，这要求学生要熟练掌握各部分知识，才能顺利解答这类题目．