Question

20．已知函数y=x²+ax，x₁、x₂、x₃为△ABC的三边，且x₁＜x₂＜x₃，若对所有正整数满足y₁＜y₂＜y₃，则a的取值范围是a＞-5．

Answer 1

分析 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合已知条件，可知x₁、x₂、x₃的最小一组值是2、3、4；根据抛物线，知它与x轴的交点是（0，0）和（-a，0），对称轴是x=-$\frac{a}{2}$．因此要满足已知条件，则其对称轴应小于2.5．

解答 解：∵x₁、x₂、x₃为△ABC的三边，且x₁＜x₂＜x₃，
∴x₁、x₂、x₃的最小一组值是2、3、4．
∵抛物线y=x²+ax与x轴的交点是（0，0）和（-a，0），对称轴是x=-$\frac{a}{2}$，
∴若对所有的正整数x₁、x₂、x₃都满足y₁＜y₂＜y₃，则-$\frac{a}{2}$＜2.5
解得：a＞-5．
故答案为：a＞-5．

点评 此题综合考查了三角形的三边关系和抛物线的有关知识，掌握抛物线的对称性是解题的关键．