Question

如图，已知⊙O_l和⊙O₂外切于A，BC是⊙O_l和⊙O₂的公切线，切点为B、C，连接BA并延长交⊙O_l于D，过D点作CB的平行线交⊙O₂于E、F，
（1）求证：CD是⊙O_l的直径；
（2）试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）过点A作两圆的内公切线交BC于G，连AC，则GA=GB=GC，可得AB⊥AC，从而可证明；
（2）先证明△BAE∽△BED，根据相似三角形对应边成比例即可证明．

解答：（1）证明：过点A作两圆的内公切线交BC于G，连AC，
则GA=GB=GC，
∴AB⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴CD是⊙O₁的直径；

（2）解：连接AE，由∠BDE=∠BEA，∠EBD为公共角，
∴△BAE∽△BED，
∴

BA

BE

=

BE

BD

，
即BE²=BA•BD，
又∵BC²=BA•BD，
∴BE=BC，
故BE=BF=BC．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题，关键是巧妙地作出辅助线．