Question

“五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：

类别	彩电	冰箱	洗衣机
进价	2000	1600	1000
售价	2200	1800	1100

（1）若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？
（2）设购买彩电X台，商店销售完毕后获得利润为w元，求W与X的函数关系式．并求哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润是多少．（利润=售价-进价）

Answer 1

解：（1）设购买彩电a台，冰箱a台，则够买洗衣机为（100-2a）台，
根据题意，得，
解得：，
因为a是整数，所以a=34，35，36，37，
则共有四种进货方案，分别为：
方案1：彩电和冰箱各进34台，洗衣机进32台；
方案2：彩电和冰箱各进35台，洗衣机进30台；
方案3：彩电和冰箱各进36台，洗衣机进28台；
方案4：彩电和冰箱各进37台，洗衣机进26台；

（2）设商店销售完毕后获得利润为w元，
则W=（2200-2000）x+（1800-1600）x+（1100-1000）（100-2x）
=200x+10000，
∵W关于x的一次函数，且200＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=37时，W_最大值=200×37+10000=17400元，
则进货方案为：彩电和冰箱各进37台，洗衣机进26台，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大，
商店获取利润最大为17400元．
分析：（1）设购买彩电a台，根据彩电与冰箱的台数相同，三类家电共100台，分别表示出冰箱及洗衣机的台数，根据表格中三种家电的进价表示三种家电的总进价，小于等于160000元列出关于a的不等式，同时根据购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数列出另一个关于a的不等式，联立两不等式组成不等式组，求出不等式组解集中的正整数解有几个，可得出有几种方案；
（2）根据购买彩电为x台，根据彩电与冰箱的台数相同，三类家电共100台，分别表示出冰箱及洗衣机的台数，然后由表格得到一台彩电，一台冰箱，及一台洗衣机的利润，各种乘以表示出的台数求出总利润，W表示总利润，列得W关于x的一次函数关系式，根据一次函数x的系数大于0，得到此一次函数为增函数，把第一问中x的最大值代入函数解析式求出的值为W的最大值，
点评：此题属于一次函数的综合题，涉及的知识有：一元一次不等式组的应用，不等式解集中的正整数解，以及一次函数的图象与性质，此类题常常以实际生活为情景，考查利润等热点问题，解答时要审清题中的等量关系及不等关系，从表格中提取有用的信息，达到解决问题的目的．