Question

如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B=30°，边BD交⊙O于点D．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=6，求线段DB的长．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=30°，
∴∠DOB=∠ADO+∠BAD=60°，
∴∠ODB=180°-∠DOB-∠B=90°，
即OD⊥DB，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：设AO=x，则DO=AO=x，OB=6-x，
∵在Rt△ODB中，∠B=30°
∴OD=OB，
∴x=（6-x），
解得：x=2，
∴OD=2，OB=4，
∴BD=．
分析：（1）求出∠A=∠ADO=30°，求出∠DOB=60°，根据三角形内角和定理求出∠ODB=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）设AO=x，则DO=AO=x，OB=6-x，根据含30度角的直角三角形性质得出OB=2OD，推出方程x=（6-x），求出x，求出OD、OB，根据勾股定理求出即可．
点评：本题考查了勾股定理，切线的判定，含30度角的直角三角形性质，主要考查学生的推理能力和计算能力．