Question

如图AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OD，AD只要证明OD⊥DE即可．此题可运用三角形的中位线定理证OD∥AC，因为DE⊥AC，所以OD⊥DE．
（2）连接AD，从而得到∠ADB=90°，根据已知条件可得出∠ODB=30°，∠ADO=60°，则△OAD为等边三角形，利用勾股定理即可求得AD的长，从而得出OA．

解答：（1）证明：连接OD．
因为D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE．           
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°．      
∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线．  

（2）证明：连接AD，
∵OD∥AC，∴∠C=∠ODB=30°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵CD=

3

，
∴∠ADO=60°，AD=1，
∴AD=OD=OA=1．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．