Question

已知矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A点的坐标（5，0），C点的坐标（0，-3），直线y=-

3

4

x与BC边交于D点．
（1）求点D的坐标；
（2）求经过O、A、D三点的抛物线的解析式；
（3）M是（2）中抛物线上的一个动点，N是x轴上的一个动点，是否存在以O、D、M、N为顶点，以线段OD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）令y=-3，进而代入求出x的值，即可得出D点坐标；
（2）利用O、A、D点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（3）利用平行四边形的判定与性质得出平行四边形ODM₁N₁，平行四边形ODN₂M₂和平行四边形ODN₃M₃中，y₂=y₃，进而得出答案．

解答：解：（1）当y=-3时，-

3

4

x=-3，
解得：x=4
故D（4，-3）；
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过O、A、D点故可得出：

c=0 25a+5b=0 16a+4b=-3

，
解得：

a= 3 4 b=- 15 4 c=0

，．
故抛物线解析式为：y=

3

4

x2-

15

4

x；

（3）存在．如图，
OD=

32+42

=5，
平移线段OD，当线段OD的一个端点与x轴重合，另一个端点与抛物线重合时，O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
平行四边形ODM₁N₁中，y₁=-3，则

3

4

x2-

15

4

x=-3
解得：x₁=1，x₂=4
则M₁（1，-3）
再由M点在x轴上方得出，平行四边形ODN₂M₂和平行四边形ODN₃M₃中，y₂=y₃=3，则

3

4

x2-

15

4

x=3，
解得：x2=

5- 41

2

，x3=

5+ 41

2

，
故M2(

5- 41

2

，3)，M3(

5+ 41

2

，3)
综上所述，满足条件的M点有三个，坐标为（1，-3），(

5- 41

2

，3)，(

5+ 41

2

，3)．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及平行四边形的判定与性质等知识，利用平行四边形得出各边之间关系是解题关键．