Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为A（2

3

，0），B（0，2），点P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°
（1）如图1，求点P的坐标；
（2）如图2，连接BP、AP，C为弧PA上一点，过P作PD⊥BC于D点，求证：BD=CD+AC；
（3）如图3，点Q是弧AP上一动点（不与A、P重合），连接PQ、AQ、BQ，求：

BQ-AQ

PQ

的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）作PH⊥x轴于H，连结PA、PB，根据圆周角定理由∠AOB=90°，得到AB为△AOB外接圆的直径，则∠BPA=90°，再利用勾股定理计算出AB=4，由根据圆周角定理由∠AOP=45°得到∠PBA=45°，则可判断△PAB和△POH都为等腰直角三角形，所以PA=

2

2

AB=2

2

，PH=OH，设OH=t，则PH=t，AH=2

3

-t，在Rt△PHA中，根据勾股定理得到t²+（2

3

-t）²=（2

2

）²，解得t₁=

3

+1，t₂=

3

-1（舍去），于是得到P点坐标为（

3

+1，

3

+1）；
（2）作PE⊥AC，交AC的延长线于E，根据圆周角定理由AB为直径得到∠ACB=90°，易得四边形PDCE为矩形，由于PA=PB，∠PBC=∠PAE，则可判断△PBD≌△PAE，则PD=PE，BD=AE，所以四边形PDCE为正方形，得到CD=CE，所以BD=AE=CE+AC=CD+AC；
（3）作PD⊥BQ于D，利用（2）中的结论得BD=DQ+AQ，则BQ-AQ=2DQ，所以

BQ-AQ

PQ

=

2DQ

PQ

，根据圆周角定理得∠PQB=∠PAB=45°，则可判断△PDQ为等腰直角三角形，则PQ=

2

DQ，所以

BQ-AQ

PQ

=

2DQ

PQ

=

2

．

解答：（1）解：作PH⊥x轴于H，连结PA、PB，如图1，
∵∠AOB=90°，
∴AB为△AOB外接圆的直径，
∴∠BPA=90°，
∵A（2

3

，0），B（0，2），
∴OA=2

3

，OB=2，
∴AB=

OA2+OB2

=4，
∵∠AOP=45°，
∴∠PBA=45°，
∴△PAB和△POH都为等腰直角三角形，
∴PA=

2

2

AB=2

2

，PH=OH，
设OH=t，则PH=t，AH=2

3

-t，
在Rt△PHA中，
∵PH²+AH²=PA²，
∴t²+（2

3

-t）²=（2

2

）²，
整理得t²-2

3

t+2=0，解得t₁=

3

+1，t₂=

3

-1（舍去），
∴P点坐标为（

3

+1，

3

+1）；
（2）证明：作PE⊥AC，交AC的延长线于E，如图2，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥BC，
∴四边形PDCE为矩形，
在△PBD和△PAE中，

∠PDB=∠PEA ∠PBD=∠PAE PB=PA

，
∴△PBD≌△PAE（AAS），
∴PD=PE，BD=AE，
∴四边形PDCE为正方形，
∴CD=CE，
∴BD=AE=CE+AC=CD+AC；
（3）解：作PD⊥BQ于D，如图3，
由（2）得BD=DQ+AQ，
∴BQ-AQ=BD+DQ-AQ=DQ+AQ+DQ-AQ=2DQ，
∴

BQ-AQ

PQ

=

2DQ

PQ

，
∵∠PQB=∠PAB=45°，
∴△PDQ为等腰直角三角形，
∴PQ=

2

DQ，
∴

BQ-AQ

PQ

=

2DQ

PQ

=

2DQ

2 DQ

=

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．