Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）通过作辅助线证明三角形全等，得出对应边相等，在△CFG中，根据三边关系得出结论；
（2）根据（1）的结论，证出平行线，得出∠ACG=90°，再根据勾股定理即可得出结论．

解答：（1）延长ED至G，使DG=DE，连接CG、FG，如图所示：
在△CDG和△BDE中，

DG=DE   ∠CDG=∠BDE   CD=BD

∴△CDG≌△BDE（SAS），
∴CG=BE，
∵DE⊥DF，DG=DE，
∴EF=FG，
在△CFG中，CG+CF＞FG，
∴BE+CF＞EF；
（2）当∠A=90°时，BE²+CF²=EF²；
由（1）得，△CDG≌△BDE，
∴∠DCG=∠DBE，
∴AB∥CG，∵∠A=90°，
∴∠ACG=90°，
在Rt△CFG中，由•勾股定理得，CG²+CF²=FG²，
由（1）知，BE=CG，EF=FG，
∴BE²+CF²=EF²．

点评：考查了全等三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等，得出相等的边和角，证出结论；构造三角形全等是解决问题的关键．