Question

（2011•南岗区一模）如图1，直线y=-kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA-AB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=

1

2

时，求t值．

Answer 1

分析：（1）根据x=0时，y=6k，y=0时，x=6，得出OB=6k，OA=6．再利用S_△AOB=24，求出即可；
（2）根据当点P在OA上运动时，0＜t≤3，以及当点P在AB上运动时，利用三角形相似的性质求出即可；
（3）利用当点P在OA上时，点M在点F左侧，以及当点P在AB上时，分别得出t的值即可．

解答：解：（1）令x=0时，y=6k（k＞0）；
令y=0时，x=6，
∴OB=6k，OA=6．S_△AOB=24，
∴

1

2

×6k×6=24，
 解得k=

4

3

，
∴AB的解析式为y=-

4

3

x+8；

（2）根据题意，OE=t，EF∥OA，
∴△BEF∽△BOA，
∴

EF

OA

=

BE

OB

，即

EF

6

=

8-t

8

，
∴EF=

3

4

(8-t)，
①如图1，当点P在OA上运动时，0＜t≤3，过P作PH⊥EF，垂足是H，
则PH=OE=t，∴S=

1

2

EF•PH，∴S=-

3

8

t2+3t； 
②如图2，当点P在AB上运动时，过P作PG⊥OA，垂足是G，
直线PG与EF相交于点R，则GR=OE=t．
在△APG中，PG∥OB，
∴△APG∽△ABO，
∴

PG

OB

=

AP

AB

，AP=2t-6，
∴

PG

8

=

2t-6

10

，∴PG=

4

5

(2t-6)，
当P与F重合时，有PG=OE，此时 t=

4

5

(2t-6)，解得t=8．PR=GR-PG，
∴PR=t-

4

5

(2t-6)=

-3t+24

5

，
∴S=

1

2

EF•PR，
当3＜t＜8时，S=

1

2

×

3

4

(8-t)×

-3t+24

5

=

9

40

t2-

18

5

t+

72

5

，
综上所述，求得的解析式是

S=- 3 8 t2+3t(0＜t≤3) S= 9 40 t2- 18 5 t+ 72 5 (3＜t＜8)

；

（3）①如图3，当点P在OA上时，点M在点F左侧．过点M作MD⊥AB，垂足是D，过点F作FS⊥OA，垂足是S，
∴FS=OE=t，EM=OP=2t．
在△MFD中，∠MDF=90°，tan∠MFD=tan∠BAO=

OB

OA

=

8

6

=

4

3

，
令MD=4k，则DF=3k，
∴MF=

(4k)2+(3k)2

=5k．
在△MAD中，tan∠MAD=tan∠MAB=

1

2

，
∴AD=8k=AF+DF=AF+3k，
∴AF=5k=MF．在△AFS中，sin∠FAS=

FS

AF

=

t

AF

=sin∠BAO=

OB

AB

=

8

10

，
∴AF=

5

4

t，MF=EF-EM，
∴MF=

3

4

(8-t)-2t=

24-11t

4

=

5t

4

，
解得t=

3

2

，
当点P在OA上时，点M在点F右侧．可计算得出t=

11

4

；
②如图4，当点P在AB上时，过点M作MD'⊥AB，垂足是D'，
在△PMD′中，tan∠MPD′=tan∠ABO=

OA

OB

=

6

8

=

3

4

=

MD′

PD′

，
令MD′=3m，则PD′=4m，MP=5m，AD′=6m．AP=AD′-PD′，
∴AP=2m，AP=2t-6=2m，MP=t-

4

5

(2t-6)=5m，
∴

1

5

[t-

4

5

(2t-6)]=

2t-6

2

，
解得t=

99

28

，
综上所述，满足要求的t值是

3

2

或

99

28

或

11

4

．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的性质应用，根据已知得出M以及P点位置不同得出答案是解题关键．