Question

一开口向上的抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC。
（1）若m为常数，求抛物线的解析式；
（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a，
∵ AC⊥BC，
由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，
又AB=4，
∴C（m，-2），
代入解析式得，
∴抛物线的解析式为：y=；
（亦可先求C点，设顶点式求解）
（2）∵m为小于零的常数，
∴只需将抛物线向右平移-m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线顶点在坐标原点；
（3）由（1）得，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形，
∵△BOD直角三角形，且∠BOD=90°，
∴只能有OD=OB，
∴，
当m+2>0时，解得m=4或m=-2（舍去），
当m+2<0时，解得m=0（舍去）或m=-2（舍去）；
当m+2=0，即m=-2时，B、O、D三点重合（不合题意，舍去），
综上所述：存在实数m=4，使得△BOD为等腰三角形。