Question

如图1，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．
（1）求∠P的度数；
（2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？
（3）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？
（4）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？
【（2）、（3）、（4）小题只需写出结论，不需要证明】

Answer 1

解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，
∴∠BPC=180°-65°=115°；

（2）∠BPC=∠A+90．
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴∠BPC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BPC=∠A+90°；

（3）∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∵P为△ABC两外角平分线的交点，
∴∠DBC=∠A+∠ACB，
同理可得：∴∠BCE=∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴（∠ACB+∠ABC）=90°-∠A，
∵180°-∠BPC=∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∴180°-∠BPC=∠A+∠ACB+∠ABC，
180°-∠BOC=∠A+90°-∠A，
∴∠BPC=90°-∠A；

（4）若P为∠ABC和∠ACB外角的平分线BP，CP的交点，则∠BPC与∠A的关系为：∠BPC=∠A．
∵∠A+∠ABC=∠ACF，∠PBC+∠BPC=∠PCF，BP，CP分别是∠ABC和∠ACF的平分线，
∵∠ABC=2∠PBC，∠ACF=2∠PCF，
由以上各式可推得∠BPC=∠A．
分析：根据“三角形的外角等于与其不相邻的两内角和”和角平分线性质．
（1）利用角平分线的性质和三角形内角和是180度以及外角的性质求算即可；
（2）先列出∠A、∠ABC、∠ACB的关系，再列出∠BPC、∠PBC、∠PCB的关系，然后列出∠ABC和∠PBC、∠ACB和∠PCB的关系；
（3）利用P为△ABC两外角平分线的交点，∠DBC=∠A+∠ACB，同理可得：∠BCE=∠A+∠ABC，再利用三角形内角和定理以及外角和定理求出即可；
（4）列出∠A、∠ABC、∠ACF的关系，再列出∠PBC、∠P、∠PCF的关系，然后列出∠ABC和∠PBC、∠ACF和∠PCF的关系．
点评：此题主要考查了角平分线及三角形的内角和定理和三角形外角和等知识，熟练地应用其性质得出等量关系，再进行等量代换是解决问题的关键．