Question

已知：二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数的图象截直线y=-x+1所得线段的长为，确定m的值．

Answer 1

解：（1）若m为定值，设二次函数解析式为y=ax²+bx+m，
把A（1，0）和B（2，1）代入上式，得，
解得，
则二次函数解析式为y=x²-x+m；

（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，
则x²-x+m=0有两个不相等的实数根，
故△＞0，
即（-）²-4×m＞0，
整理得，m²-2m+1＞0，
（m-1）²＞0，
解得m≠1；
≠0，
解得m≠-1；
则m的取值范围为m≠±1；

（3）设二次函数y=x²-x+m的图象截直线y=-x+1所得线段为MN，且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
令x²-x+m=-x+1，
整理，得（m+1）x^2_--（3m-1）x+2m-2=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=；
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（）²-4×=（）²；
∵y=-x+1，
∴y₁-y₂=（-x₁+1）-（-x₂+1）=-（x₁-x₂），
∴（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²=（）²；
又∵MN=2，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（2）²，
∴2（）²=8，
∴=±2，
∴m₁=-5，m₂=．
故所求m的值为-5或．
分析：（1）由于二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为m，所以可设二次函数解析式为y=ax²+bx+m，把A（1，0）和B（2，1）代入，运用待定系数法即可求出此二次函数的解析式为y=x²-x+m；
（2）由于二次函数为y=x²-x+m的图象与x轴有两个交点，所以一元二次方程x²-x+m=0的判别式△＞0且≠0，由此可求出m的取值范围；
（3）设二次函数y=x²-x+m的图象截直线y=-x+1所得线段为MN，且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），先由一元二次方程根与系数的关系求出（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（）²，再根据线段MN的长为2，运用两点间的距离公式（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=MN²，即可求出m的值．
点评：本题主要考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系及两点间的距离公式，综合性较强，有一定难度．