Question

（2013•闸北区二模）已知：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=6，AB=8，sinC=

4

5

，点P在射线DC上，点Q在射线AB上，且PQ⊥CD，设DP=x，BQ=y．
（1）求证：点D在线段BC的垂直平分线上；
（2）如图2，当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）若以点B为圆心、BQ为半径的⊙B与以点C为圆心、CP为半径的⊙C相切，求线段DP的长．

Answer 1

分析：（1）过D作DH⊥BC于H，得出四边形ABHD是矩形，推出DH=AB，BH=AD，在Rt△DHC中，求出DC=10，HC=6，推出BH=HC=6即可；                     
（2）延长BA、CD相交于点S，根据三角形的中位线求出SD=DC=10，SA=AB=8，得出DP=x，BQ=y，SP=x+10，证△SPQ～△SAD，得出

SQ

SP

=

SD

SA

=

5

4

，求出SQ=

5

4

（x+10）即可；
（3）有三种情况：（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，由BQ+CP=BC，-

5

4

x+

7

2

+10-x=12，求出x即可；（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，（ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，得出BQ=

5

4

x-

7

2

，CP=x-10，若两圆外切，BQ+CP=BC，即

5

4

x-

7

2

+x-10=12，若两圆内切，|

5

4

x-

7

2

-（x-10）|=12，求出即可．

解答：（1）证明：过D作DH⊥BC于H，如图①，
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠A=90°，∠BHD=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH=AB，BH=AD，
又∵AD=6，AB=8，
∴DH=8，BH=6，
在Rt△DHC中，sinC=

4

5

，设DH=4k=8，DC=5k
∴DC=10，HC=

102-82

=6，
∴BH=HC=6，
又∵DH⊥BC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
     
（2）解：延长BA、CD相交于点S，如图②，
∵AD∥BC且BC=12，
∴AD=

1

2

BC，
∴

SA

SB

=

SD

SC

=

AD

BC

=

1

2

，
∴SD=DC=10，SA=AB=8，
∵DP=x，BQ=y，SP=x+10，
∠S=∠S，∠SAD=∠SPQ=90°，
∴△SPQ～△SAD
∴

SQ

SP

=

SD

SA

=

5

4

，
∴SQ=

5

4

（x+10），
∴BQ=16-

5

4

（x+10），
∴所求的解析式为：y=-

5

4

x+

7

2

，定义域是0≤x≤

14

5

．

（3）解：有三种情况：
（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，
由BQ+CP=BC，-

5

4

x+

7

2

+10-x=12，
解得：x=

2

3

，
（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，
（ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，
此时BQ=

5

4

x-

7

2

，CP=x-10                             
若两圆外切，BQ+CP=BC，即

5

4

x-

7

2

+x-10=12，
解得：x=

34

3

，
若两圆内切，|BQ-CP|=BC，
即|

5

4

x-

7

2

-（x-10）|=12，

5

4

x-

7

2

-（x-10）=12，

5

4

x-

7

2

-（x-10）=-12，
x=22，x=-74（不合题意舍去），
综上所述，⊙B与⊙C相切时，线段DP的长为

2

3

或

34

3

或22．

点评：本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线，函数的应用等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题较好，有一定的难度．