Question

在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．
（1）如图①，当∠A为锐角时，连接BE，试判断∠BAC与∠CBE的数量关系，并证明你的结论．
（2）图①中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（1）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∠BAC与∠CBE的关系是：∠BAC=2∠CBE．
理由如下：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC．
又∵∠CAD=∠CBE，
∴∠BAC=2∠CBE．

（2）相同．
理由如下：连接AD．
∵AB为直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵∠CAD+∠DAE=180°，∠CBE+∠DAE=180°，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠BAC=2∠CBE．
分析：（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，又由AB=AC，根据等腰三角形的三线合一，得AD平分∠BAC，结合圆周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；
（2）连接AD．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明∠BAC=2∠CBE．
点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．