Question

（1）已知一元二次方程x²+px+q=0（p²﹣4q≥0）的两根为x₁、x₂；求证：x₁+x₂=﹣p，x₁•x₂=q．

（2）已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值，并求出最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p²﹣4q≥0，

∴。

（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x²+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

          设抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0）。

∵d=|x₁﹣x₂|，

∴d²=（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4 x₁•x₂=p²﹣4q=p²﹣4p+8=（p﹣2）²+4。

∴当p=2时，d ²的最小值是4。

【解析】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

（教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x₁、x₂的值，再求出两根的和与积即可）

（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x₁﹣x₂|可得d²关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。