Question

如图，△ABC内接于⊙O，AE⊥BC于E，直径AD交BC于点F，连接BD．
（1）找出图中2对相似三角形；
（2）在你找出的各对相似三角形中，选择一对，给出证明；
（3）若AB=6，AC=4，AE=3，求⊙O直径AD的长．

Answer 1

解：（1）△ACE∽△ADB，△AFC∽△BFD．

（2）∵∠FAC=∠FBD，∠AFC=∠BFD，
∴△AFC∽△BFD．

（3）∵△ACE∽△ADB，
∴AC：AD=AE：AB，
∴AD=（AC•AB）：AE=4×6÷3=8．
分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角，可知∠ABD=90°，则∠ABD=∠AEC，又由同弧所对的圆周角相等，得出∠D=∠C，根据有两角对应相等的两三角形相似，可知△ACE∽△ADB；同样，在△AFC与△BFD中，容易发现有两对角相等，得出△AFC∽△BFD；
（2）根据有两角对应相等的两三角形相似，证明△AFC∽△BFD；
（3）由△ACE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，可求出直径AD的长．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质．注意：在圆中证明两三角形相似时，通常找角相等的条件，比找边对应成比例容易得多．