Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）．图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1、3，与y轴负半轴交于点C．下面三个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是________．（只填你认为正确结论的序号）

Answer 1

①③
分析：先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，
∴AB=4，
∴对称轴x=-=1，
即2a+b=0．
故选项正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而-=1，
∴b＜0，
∵对称轴x=1，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．故选项错误；
③要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值．
当x=1时，y=a+b+c，
即|a+b+c|=2，
∵当x=1时y＜0，
∴a+b+c=-2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，
∴当x=-1时y=0，即a-b+c=0，
x=3时y=0，即9a+3b+c=0，
解这三个方程可得：b=-1，a=，c=-，故选项正确．
故答案为：①③．
点评：考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：
①2个交点，b²-4ac＞0；②1个交点，b²-4ac=0；③没有交点，b²-4ac＜0．