Question

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，点E在AB上，∠ECB=∠B，EF⊥AB交CD的延长线于点F，求证：∠F=∠DCE．

Answer 1

分析 由三角形内角和定理和已知条件得出∠A=∠ACE，得出∠DCE=∠A-45°，再由三角形的外角性质得出∠F=∠A-45°，即可得出结论．

解答 证明：∵CD是角平分线，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACE+∠ECB=90°，
∵∠ECB=∠B，
∴∠A=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=∠A-45°，
∵EF⊥AB，
∴∠DEF=90°，
∵∠CDE=∠A+45°=∠F+90°，
∴∠F=∠A-45°，
∴∠F=∠DCE．

点评 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．