Question

 如图14，已知CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC=AB，∠CAB=30°.

（1）求证：AB是⊙O的切线； 

              

图14

（2）若⊙O的半径为2，求⌒BD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OB，如答图6所示：

 

答图6

∵BC=AB，∠CAB=30°，

∴∠ACB=∠CAB=30°，

又∵OC=OB，

∴∠CBO=∠ACB=30°，

∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°.

在△ABO中，∠CAB=30°，∠AOB=60°，

可得∠ABO=90°，即AB⊥OB，

∴AB是⊙O的切线.

（2）解：∵OB=2，∠BOD=60°，

∴⌒BD的长度l=π．

点拨：此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质以及弧长公式的运用.切线的判定方法有两种：有切点连半径，证明垂直；无切点作垂线，证明垂线段等于半径．