Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E在线段DA上，直线CE与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△CDE∽△GAE；
（2）当DE：EA=1：2时，过点E作EF∥CD交BC于点F，且CD=4，EF=6，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，
∴∠CDE=∠GAE，∠DCE=∠EAG，
∴△CDE∽△GAE；
（2）证明：由（1）△CDE∽△GAE，
∴DE：EA=DC：GA，
∵DE：EA=1：2，CD=4，
∴GA=8，CE：CG=1：3，
又∵EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥GB，∴△CEF∽△CGB，
∴CE：CG=EF：GB，
∵EF=6，
∴GB=18．
∴AB=GB-GA=18-8=10．
分析：（1）由平行线可判断△CDE∽△GAE；
（2）由DE：EA=1：2及△CDE∽△GAE可求GA，再由已知得CF：CB=DE：DA=1：3，由EF∥CD得△CEF∽△CGB，利用相似比求GB，由AB=GB-GA求解．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形的性质．关键是利用平行线得出相似三角形，利用相似比解题．