Question

15．如图，△ABC中，BC=8，CA=4$\sqrt{3}$，∠C=60°，点E、F、D分别在边AB、AC、BC上（点E点A、B不重合），EF∥BC，设EF=x，△DEF中边EF上的高为y．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）试问在BC上是否存在点D，使得△DEF是等腰直角三角形？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据EF∥BC，由平行线分线段成比例定理可得△AEF∽△ABC；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，交EF于点N，在Rt△ACM中，由三角函数得出AM，再由（1）得出△AEF与△ABC的相似比，根据相似三角形的性质，对应边上的高之比等于相似比，得出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）分情况讨论，直角顶点分别为D，E，F，再根据三角形相似得出CD的长．

解答 解：（1）证明：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC；
（2）解：过点A作AM⊥BC，垂足为M，交EF于点N，
∵CA=4$\sqrt{3}$，∠C=60°，
∴sin60°=$\frac{AM}{AC}$，
∴AM=6，
∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AN}{AM}$，
∵EF=x，MN=y，BC=8，
∴$\frac{x}{8}$=$\frac{6-y}{6}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+6，
∵点E、F分别在边AB、AC上（点E点A、B不重合），
∴自变量x的取值范围0＜x＜8；
（3）解：假设存在点D在BC上，使得△DEF是等腰直角三角形，
分三种情况：①当∠DEF=90°时，
过点F作FH⊥BC，垂足为H，如图1，
∵EF=x，
∴ED=FH=y，
∴y=x，
∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{6-y}{6}$，
∴3x=24-4y，
∴x=$\frac{24}{7}$，
在Rt△CFH中，tan60°=$\frac{FH}{CH}$，
∴CH=$\frac{y}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴CD=CH+DH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{32\sqrt{3}}{7}$；
②当∠DFE=90°时，如图2，
由①得x=y=$\frac{24}{7}$，
在Rt△CFD中，tan60°=$\frac{FD}{CD}$，
∴CD=$\frac{y}{\sqrt{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$；
③当∠DEF=90°时，
分别过点D、F作DP⊥EF，FQ⊥BC，垂足分别为P、Q，如图3，
∵EF=x，
∴PD=FP=FQ=y，
∴y=$\frac{1}{2}$x，
∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{6-y}{6}$，
∴6x=48-8y，
∴x=4.8，
∴y=2.4，
在Rt△CFQ中，tan60°=$\frac{FQ}{CQ}$，
∴CQ=$\frac{y}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
∴CD=CQ+DQ=2.4+$\frac{2\sqrt{3}}{5}$=$\frac{12+2\sqrt{3}}{5}$．
综上所述，CD的长为$\frac{32\sqrt{3}}{7}$；$\frac{8\sqrt{3}}{7}$；$\frac{12+2\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了相似形的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，其中相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似．