Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD，延长AB到点M，使BM=DC，连接CM．
（1）AC与CM相等吗？简述你的理由；
（2）若CD=3，AB=7，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）相等，理由是：
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵AB∥CD，
∴BM∥DC，
∵BM=DC，
∴四边形BMCD是平行四边形，
∴CM=BD，
∴AC=CM；

（2）∵BD∥CM，AC⊥BD，
∴AC⊥CM，
∴∠ACM=90°，
∵AC=CM，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∵AB=7，BM=CD=3，
∴AM=3+7=10，
∴由勾股定理得：CM=AC=BD=5，
∴梯形ABCD的面积是×AC×BD=×5×5=25．
分析：（1）根据等腰梯形性质得出AC=BD，推出平行四边形BMCD，根据平行四边形性质推出即可；
（2）求出△ACM是等腰直角三角形，求出AM，根据勾股定理求出CM，求出AC和BD，根据梯形ABCD的面积等于×AC×BD求出即可．
点评：本题考查了等腰梯形的性质和平行四边形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．