Question

如图（1），在平面直角坐标系中二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A（1，-2），B（3，-1）
（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）请问在y轴上是否存在点P，使得S_△ABC=S_△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使得△QAB是等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由（不用证明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）将已知的点A和点B的坐标代入抛物线的解析式即可求得b、c的值，进而确定抛物线的解析式；用配方法或公式法求得其顶点C的坐标即可；
（2）过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，根据三点的坐标可以得到AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=；从而得到S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=．然后延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=x-，则点G的坐标为（0，-），设点P的坐标为（0，h），最后分当点P位于点G的下方时和当点P位于点G的上方时两种情况求得点P的坐标即可；
（3）分别以AB为底边时、以AB为腰以B为顶点时、以AB为腰以A为顶点时三种情况讨论即可得到答案．
解答：解：（1）设l₂的解析式为y=-x²+bx+c，联立方程组：

解得得：b=，c=-，
则l₂的解析式为y=-x²+x-=-（x-）²-．
点C的坐标为（，-）．

（2）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=．
得：S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=．
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=x-，则点G的坐标为（0，-），设点P的坐标为（0，h），
①当点P位于点G的下方时，PG=--h，连接AP、BP，
则S_△ABP=S_△BPG-S_△APG=--h，又S_△ABC=S_△ABP=，得h=-，点P的坐标为（0，-）．
②当点P位于点G的上方时，PG=+h，同理h=-，点P的坐标为（0，-）．
综上所述所求点P的坐标为（0，-）或（0，-）（7分）

（3）作图痕迹如答图2所示．
由图可知，
当以AB为腰以A为顶点时，以点A为圆心，以AB为半径画圆与抛物线交与Q₁；
当以AB为腰以B为顶点时，以点b为圆心，以AB为半径画圆与抛物线交与Q₂；
当以AB为底边时，作AB的垂直平分线交抛物线于Q₃，Q₄；
故满足条件的点有Q₁、Q₂、Q₃、Q₄，共4个可能的位置．（10分）
点评：本题考查了二次函数的综合知识，考查的知识点比较多，难度相对比较大．特别是本题中讨论等腰三角形的个数时更容易漏掉．