Question

已知：抛物线与x轴交于
点A(x₁，0)、B(x₂，0)，且x₁＜1＜x₂．
【小题1】求A、B两点的坐标(用a表示)；
【小题2】设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积；
【小题3】若a是整数，P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合)，
在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求抛物线的
解析式及线段PQ的长的取值范围．

Answer 1

【小题1】∵抛物线与x轴交于点A(x₁，0)、B(x₂，0)，
∴x₁、x₂是关于x的方程的解．
方程可简化为x²＋2(a－1)x＋(a²－2a)＝0．
解方程，得x＝－a或x＝－a＋2．
∵x₁＜x₂，－a＜－a＋2，
∴x₁＝－a，x₂＝－a＋2．
∴A、B两点的坐标分别为A(－a，0)，B(－a＋2，0)．
【小题2】∵AB＝2，顶点C的纵坐标为 
∴△ABC的面积等于
【小题3】x₁＜1＜x₂， ∴－a＜1＜－a＋2．
∴－1＜a＜1．
∵a是整数，
∴a＝0，所求抛物线的解析式为y＝
解法一：此时顶点C的坐标为
如图，作CD⊥AB于D，连结CQ．

则AD＝1，
∴∠BAC＝60°．
由抛物线的对称性可知△ABC是等边三角形．
由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得，
点M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN为平行四边形，
C、Q、P三点共线，且
∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，


解法二：设点P的坐标为P(x，0)(0＜x＜2)．
如图，作MM₁⊥AB于M₁，NN₁⊥AB于N₁．

∵△APM和△BPN是等边三角形，且都在x轴上方，
∴AM＝AP＝x，BN＝BP＝2－x，
∠MAP＝60°，∠NBP＝60°．





∴M、N两点的坐标分别为
可得线段MN的中点Q的坐标为
由勾股定理得
∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，0＜x＜2，

解析