Question

如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠DBC=∠ABC．若梯形的周长为40，求梯形的中位线．

Answer 1

解：作梯形的高AE，DF，如图，
∵∠DBC=∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠1=∠2=∠3，则AD=AB=DC，设AD=x，
而梯形的周长为40，
∴BC=40-3x，
又∵AE，DF为等腰梯形的高，
∴BE=CF，EF=x，
∴CF=20-2x，
又∵BD⊥DC，
∴∠2+∠C=90°，而∠C+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
∴Rt△CDF∽△CBD，
∴CD²=CF•CB，即x²=（20-2x）（40-3x），解方程得x₁=20，x₂=8，20不和题意舍去，
∴x=8，则AD=8，BC=40-3x=16，
所以梯形的中位线=（8+16）=12．
分析：作梯形的高AE，DF，由∠DBC=∠ABC，得∠1=∠2，由四边形ABCD为等腰梯形，得∠1=∠2=∠3，易得AD=AB=DC，设AD=x，则BC=40-3x，CF=20-2x，易证得Rt△CDF∽△CBD，得到CD²=CF•CB，即x²=（20-2x）（40-3x），解方程得x₁=20，x₂=8，20不和题意舍去，所以x=8，则AD=8，BC=40-3x=16，然后根据梯形的中位线的定义即可求解．
点评：本题考查了直角三角形相似的判定以及性质，有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似，等腰梯形的性质以及常作的辅助线和梯形中位线的定义．